Forschungsinteressen

Differentialoperatoren auf Graphen (Quantengraphen)

Analysis auf Graphen und anderen diskreten Strukturen (z.B.
Fraktalen) entwickelt sich seit der Mitte letztes Jahrhunderts und wurde
durch bestimmte Fragestellungen aus Wahrscheinlichkeitstheorie und
Spektralgeometrie initiiert. Motiviert durch verschiedene Anwendungen in
Nanotechnologie, Mikroelektronik, Quantenchemie, Optik etc. erfährt dieses
Gebiet in der jüngsten Zeit eine rasche Entwicklung. Viele
anwendungsrelevante Modelle erfordern Untersuchung von Differential- und
Pseudodifferentialoperatoren auf metrischen Graphen, d.h. singulären
eindimensionalen Mannigfaltigkeiten mit Singularitäten an Knoten des
Graphen. Die Spektraltheorie von solchen Operatoren weist nichttriviale
Bezüge zur Kombinatorik und Spektralgeometrie auf.

Eine Übersicht können Sie einer kürzlich erschienenen Veröffentlichung von Peter Kuchment entnehmen.

Meine wichtigsten Arbeiten auf diesem Gebiet:

 

Geometrische Störungstheorie

Die Störungstheorie selbstadjungierter Operatoren im Hilbertraum beschäftigt sich hauptsächlich
mit zwei eng zusammenhängenden Fragestellungen: (1) wie ändert sich das Spektrum
eines Operators A unter der Störung V und (2) wie ändern sich die spektralen Teilräume von A
unter der Störung V.

... in Vorbereitung ...

Meine wichtigsten Arbeiten auf diesem Gebiet:

 

Anwendungsmotivierte Fragestellungen

Dynamische Vorgänge bei vielen technischern Prozessen werden durch ein hochdimensionales
System nichtlinearer partieller Differentialgleichungen
beschrieben. Die beteiligten Teilprozesse weisen oft sehr unterschiedliche
Zeit- und Raumskalen auf. So können die Relaxationszeiten der Teilprozesse wie z.B.
der Wärmeleitung im Festen und Flüssigen bei der Materialbearbeitung mit Lasestrahlung
um den Faktor 1000 voneinander abweichen. Die
Anwesenheit deutlich unterschiedlicher Werte für die Zeit- und Längenskalen bedeutet,
dass in dem Differentialgleichungssystem kleine Parameter enthalten sind, die durch
Verhältnisse der Skalen erklärt sind. Durch Anwendung der Störungstheorie (in erster
Linie der singulären Störungstheorie) wird untersucht, welche Informationen auf den
kleinen Skalen benötigt werden, um die Größen auf den ”gröberen“ prozeßrelevanten
Zeit- und Längenskalen richtig zu beschreiben. Als Ergebnis dieser Analyse kann ein sehr
viel einfacheres aber trotzdem gutes reduziertes Modell mit niedriger Dimension des
Phasenraums hergeleitet werden. Die reduzierte Aufgabe besitzt die Eigenschaft leichter
mathematisch analysierbar zu sein. Das reduzierte Modell kann auch zur effizienten Steuerung
oder Regelung des technischen Prozesses benutzt werden.

In Kooperation mit Fraunhofer-Institut für Lasertechnik Aachen und RWTH Aachen werden
einige Forschungsthemen für eine Diplomarbeit oder Promotion angeboten. Die aktuelle
Liste befindet sich hier.